Оптические элементы с поверхностью свободной формы стали прорывом в индустрии освещения с точки зрения эффективности перенаправления светового потока в заданную область. Для представления кривых и поверхностей свободной формы часто используются неоднородные рациональные B-сплайны (NURBS). Проектирование или оптимизация некоторых оптических систем требует локальной модификации поверхности. Однако NURBS не допускают таких трансформаций. Для этого используются такие математические формы, как T-сплайны. Несмотря на то что их возможности достаточно хорошо описаны, ранее они не применялись в целях оптимизации. Энни Шалом Айзек, Цзиай Лонг и Корнелиус Нейман из Технологического института Карлсруэ продемонстрировали преимущества использования T-сплайнов для локального уточнения поверхностей, реализовав процедуру Т-сплайн-оптимизации. Полученные ими результаты показывают, что аппроксимация поверхностей оптических элементов Т-сплайнами дает более однородное и равномерное распределение освещенности по сравнению с аппроксимацией при помощи NURBS при более быстрой сходимости. Всё это превращает использование Т-сплайнов в интуитивный подход для проектирования и оптимизации оптических элементов свободной формы.
OFFD-сетка 3´3 с оптической поверхностью до (слева) и после (справа) деформирования
Проектирование оптических элементов с поверхностью свободной формы в основном опирается на один из следующих методов: подгонка формы оптической поверхности в приближении точечного источника [3], одновременный расчет по многим поверхностям [4] и восстановление исходной поверхности, реализующей соответствие между координатами лучей, испускаемых источником, и координатами лучей в заданной области, найденное с использованием фотометрически эквивалентных сеток [5]. Поскольку указанные математические методы не гарантируют достаточной точности для протяженных светодиодных источников света, а также не позволяют получить обобщенного решения, проектировщикам оптических систем по-прежнему приходится прибегать к тем или иным средствам оптимизации для улучшения результатов. Повышение скорости алгоритмов трассировки лучей и интеллектуальных высокоуровневых алгоритмов оптимизации способствует широкому распространению оптимизационного подхода. Однако в нем есть и недостатки, которые обусловлены сложностью математического представления и наличием множества параметров. Эти параметры непосредственно не связаны со световой эффективностью, что, с учетом необходимости выполнить требования по распределению освещенности, превращает оптимизацию в длительный процесс.
Для преодоления этих затруднений Вендел с соавторами предложили метод, называемый оптимизацией с произвольным деформированием (OFFD). Основная идея метода заключается в наложении трехмерной сетки на оптическую поверхность с последующим деформированием этого замкнутого контейнера вместо непосредственного изменения самого объекта [1]. Метод предполагает использование NURBS для представления оптической поверхности. Результаты показывают, что метод позволяет полноценно выполнять глобальное деформирование при меньшем количестве переменных, что упрощает процесс производства. Однако иногда необходимо, чтобы распределение освещенности имело резкий градиент или чтобы путь распространения светового потока сильно менялся. В таких случаях существенное увеличение световой эффективности достигается за счет небольшого локального деформирования. Метод OFFD при этом неприменим вследствие неподходящей формы представления поверхности. Альтернативная форма представления поверхности, позволяющая обойти это препятствие, носит название Т-сплайна [2]. Бейли с соавторами продемонстрировали потенциал Т-сплайнов и показали, как применять их для представления оптических поверхностей [6]. Тем не менее они никогда ранее не использовались в целях оптимизации, а сравнительный анализ световой эффективности смоделированных с их помощью оптических элементов и световой эффективности оптических элементов, смоделированных с помощью NURBS, не проводился.
Данная статья посвящена описанной выше проблеме. В ней рассматривается альтернативный способ ее решения. В разделе 2 излагается суть метода OFFD. Математическое представление оптических поверхностей обсуждается в разделе 3. Результаты применения Т-сплайнов и проведения сравнительного анализа представлены в разделе 4, за которым следует раздел 5 с заключением.
Метод OFFD
Метод OFFD состоит в произвольном деформировании (FFD), впервые предложенном Седербергом [7], в сочетании с процедурой оптимизации. Для привязки оптической поверхности к сетке хорошо подходят алгоритмы FFD [7]. На рисунке 1 показана сетка с оптической поверхностью до и после деформирования. Для краткости метод OFFD описан лишь в общих чертах.
Рисунок 1. OFFD-сетка 3´3 с оптической поверхностью до (слева) и после (справа) деформирования
Алгоритм начинается с выбора исходной поверхности, световую эффективность которой необходимо повысить. Как правило, она сильно отличается от требуемой. Согласно описываемому методу, на оптическую поверхность накладывается сетка с 27 контрольными точками, так что можно выбрать любую их комбинацию в качестве переменных алгоритма оптимизации. Алгоритм имеет широкую область поиска для заданной комбинации точек сетки и предусматривает их смещение по всем трем осям локальной системы координат. При изменении локальной системы координат меняется и помещенная в нее оптическая поверхность. После деформирования поверхности производится оценка ее фотометрических характеристик, по результатам которой алгоритм оптимизации принимает решение о смещении переменных оптимизации. Описанная последовательность операций повторяется снова и снова, пока не будут достигнуты установленные требования по распределению освещенности. Последовательность выполняемых в рамках алгоритма операций представлена в виде схемы на рисунке 2.
Рисунок 2. Этапы алгоритма оптимизации с произвольным деформированием (OFFD)
Наиболее важным этапом этой процедуры является определение степени соответствия деформированной поверхности заданным требованиям, поскольку весь процесс оптимизации строится на оценке этого параметра, обозначаемого как Q. В этой статье рассматриваются две разных функции оценки качества поверхности.
Функция оценки качества поверхности по отклонению распределения освещенности выражает степень отклонения полученного в результате моделирования распределения освещенности от требуемого распределения освещенности:
Здесь G — область, в которую перенаправляется световой поток от источника, Eideal(x) — требуемое распределение освещенности, E(x) — формируемое распределение освещенности.
Функция оценки качества поверхности по световому потоку Qflux выражает соотношение между световым потоком, перенаправляемым в заданную область (Φt), и световым потоком, собираемым оптикой (Φc):
Математическое представление оптических поверхностей NURBS
В настоящее время методы NURBS-моделирования настолько хорошо отработаны, что используются в системах компьютерной графики и для трассировки лучей. Благодаря геометрической гибкости NURBS-поверхностей ими легко оперировать. Для модификации такой поверхности достаточно изменить положение контрольных точек или их веса в процессе оптимизации. NURBS-поверхность представляет собой параметрическую поверхность, выраженную тензорным произведением, которое имеет следующий вид:
где Pij — прямоугольная матрица контрольных точек, имеющая размерность (n+1) ´ (m+1); Wi,j — веса; Nip(u) и Njq(v) — базисные функции степени p и q в направлениях u и v, связанные со следующими векторами узлов соответственно:
где r = p + n + 1 и s = m + q + 1. Для того чтобы добавить контрольную точку в NURBS, необходимо прибегнуть к алгоритму вставки узла, что влечет за собой вставку целого столбца или строки контрольных точек. Удаление узла также приводит к изменению геометрической формы NURBS-поверхности. Возможность каких-либо локальных улучшений поверхности при ее представлении с помощью NURBS в целом ограничена, поскольку, как следует из выражения (3), NURBS-поверхность выражена в виде тензорного произведения. Как видно из рисунка 3, NURBS-поверхность образована последовательностью столбцов, следующих друг за другом по горизонтали, и строк, следующих друг за другом по вертикали. Поэтому вставка новой контрольной точки требует вставки целого столбца или строки контрольных точек для соблюдения топологических ограничений.
Рисунок 3. Исходный NURBS-патч 5´5 (слева), добавление контрольных точек в строках и столбцах в результате модификации с применением NURBS (в центре) и Т-сплайнов (справа)
Т-сплайны
Недостатки применения NURBS могут быть устранены при переходе к альтернативному математическому представлению поверхностей свободной формы с помощью Т-сплайнов. Т-сплайны представляют собой обобщенный вариант В-сплайнов и при определенных условиях позволяют назначать узловые интервалы для контрольных точек при добавлении Т-образных соединений в В-сплайны, как показано на рисунке 3. Таким образом, это свойство превращает локальное деформирование с представлением поверхности Т-сплайнами в более продвинутую методику, поскольку они не требуют добавления ненужных контрольных точек. T-сплайн — это выраженный в виде тензорного произведения B-сплайн. NURBS-поверхности определяются с помощью набора контрольных точек, лежащих топологически в прямоугольной сетке, тогда как Т-сплайны могут содержать лишь часть точек в строках и столбцах сетки. Контрольная сетка для Т-сплайн-поверхности носит название Т-сетки, а сама Т-сплайн-поверхность определяется следующим соотношением:
, (5)
где Pi — контрольные точки. Ni(u,v) — базисные функции следующего вида:
(6)
Базисные функции связаны со следующими узловыми векторами соответственно:
(7)
При вставке новой контрольной точки или узла интервал между другими контрольными точками должен быть уточнен без изменения формы поверхности на этом интервале, что достигается путем уточнения двух одномерных базисных функций по отдельности при соблюдении соотношения (6). Возможность такого локального уточнения без увеличения количества контрольных точек, а также без изменения геометрической формы превращает Т-сплайны в по-настоящему хороший инструмент для реализации OFFD и локального деформирования.
Рисунок 4. Исходные оптические поверхности, разделенные на 6 сегментов (слева) и OFFD-сетка с пронумерованными контрольными вершинами (справа), пригодная к локальному деформированию
Применение Т-сплайнов для OFFD
Последний раздел посвящен теоретическим основам Т-сплайн-проектирования и преимуществам применения Т-сплайнов для локального деформирования. В разделе описывается применение Т-сплайнов для оптимизации произвольным образом деформируемой системы, алгоритм которой кратко изложен в разделе 2. В нашем случае мы для примера решали такую же задачу по проектированию рассеивателя уличного светильника, как в работе [1]. Источником света служил светодиод Cree XPG2, характеризующийся световым потоком 100 лм. Исходная поверхность до оптимизации приведена на рисунке 4. Для анализа фотометрических характеристик использовались функции оценки качества поверхности, заданные уравнениями (1) и (2).
Для реализации OFFD с применением Т-сплайнов необходимо добавить дополнительные контрольные точки в областях, требующих уточнения, так чтобы форма поверхности при этом оставалась неизменной. Более выраженная локальная деформация достигается в зонах с плотным расположением большого количества точек. На основе полученных данных был проведен анализ, чтобы определить, на какую часть рассеивателя больше всего влияет процесс деформирования, и установить, приводит ли малое локальное деформирование этой части рассеивателя к улучшению результатов.
Вся оптическая поверхность была разделена на шесть сегментов как показано на рисунке 4. Эта операция выполняется на основе интуитивного подхода. Симметрия по оси Y обусловлена тем, что рассматриваемый участок улицы и светильник располагаются посередине оси Y. Для непосредственного сравнения были выбраны точки сетки [1, 3, 13, 15]. В каждый из шести сегментов были добавлены дополнительные контрольные точки. В итоге было сгенерировано шесть новых оптических поверхностей. Единственное различие между этими новыми Т-сплайн-поверхностями и исходными поверхностями заключалось в количестве контрольных точек. Форма оптического элемента в результате модификаций, как и ожидалось, не изменилась. Эти оптические поверхности были приняты за исходные. Они поочередно подвергались OFFD и анализировались с помощью введенных ранее функций оценки качества. Предварительные результаты показали, что самое существенное влияние на распределение освещенности наблюдалось при добавлении наибольшего количества контрольных точек в сегмент 5. Таким образом, эта оптическая поверхность, в пятом сегменте которой содержалось больше всего контрольных точек, была принята за исходную для последующей оптимизации. В следующем разделе обсуждается сравнение полученных результатов и результатов OFFD с применением NURBS.
![Рисунок 5. Схематическое изображение системы уличного освещения (расстояние между столбами — 10 м, высота столба — 6 м, расстояние между столбами и дорогой — 1 м). Желтым треугольником показана освещаемая область [1]](/upload/medialibrary/8b8/17.jpg "Схематическое изображение системы уличного освещения (расстояние между столбами — 10 м, высота столба — 6 м, расстояние между столбами и дорогой — 1 м). Желтым треугольником показана освещаемая область [1]")
Рисунок 5. Схематическое изображение системы уличного освещения (расстояние между столбами — 10 м, высота столба — 6 м, расстояние между столбами и дорогой — 1 м). Желтым треугольником показана освещаемая область [1]
Световая эффективность исходной системы
Световая эффективность исходной поверхности приведена на рисунке 6. В требуемую область попадает всего 15% полного светового потока, а распределение освещенности, которое должно быть прямоугольным (показано с помощью белой рамки), имеет совсем другую форму.
Рисунок 6. Распределение освещенности на рассматриваемом участке улицы (отмечен белой прямоугольной рамкой) для исходной поверхности, которая показана слева
Рисунок 7. Распределение освещенности для рассеивателя с дополнительными контрольными точками в пятом сегменте, полученное (a) в результате Т-сплайн-моделирования с оценкой качества поверхности по отклонению распределения освещенности и (b) с оценкой качества поверхности по световому потоку, а также (c) в результате NURBS-моделирования с оценкой качества поверхности по отклонению распределения освещенности и (d) с оценкой качества поверхности по световому потоку
Сравнение NURBS и Т-сплайнов
Сравнение NURBS и Т-сплайнов, используемых для анализа поверхности рассеивателя, проводится на основе двух важных фотометрических показателей — величины полного светового потока, попадающего в заданную область, и степени равномерности распределения освещенности в заданной области. Применение NURBS и Т-сплайнов дает одинаковый уровень полного светового потока в заданной области, который, как видно из рисунков 7b и 7d, достигает 55%, что на 40% выше по сравнению с исходной поверхностью (Δη). Однако, согласно рисунку 7a, распределение освещенности в заданной области, полученное в результате Т-сплайн-моделирования, ближе к требуемому распределению по форме. Оно равномернее показанного на рисунке 7b распределения, которое получено в результате NURBS-моделирования. Деформированная оптическая поверхность, представленная NURBS и Т-сплайнами, показана на рисунке 8. На краях Т-сплайн-поверхности, которые на рисунке 4 относятся к сегменту 5, заметны небольшие отличия. Добавление наибольшего количества контрольных точек в этот сегмент сильнее всего повлияло на распределение освещенности по сравнению с другими сегментами.
Рисунок 8. Деформированная оптическая поверхность, полученная с помощью OFFD с применением NURBS (слева) и Т-сплайнов (посередине), а также различия в форме поверхности при ее представлении NURBS и Т-сплайнами, показанные в искусственной расцветке
NURBS-оптимизация более чувствительна к выбору контрольных точек. При тщательном подборе можно получить такой же результат, но за счет увеличения времени выполнения процедуры почти вдвое по сравнению с Т-сплайн-оптимизацией. Самое важное преимущество применения Т-сплайнов для оптимизации состоит в том, что, когда сегмент оптической поверхности, который следует подвергнуть локальной деформации, известен заранее, можно хотя бы не беспокоиться о выборе контрольных точек.
Заключение
В настоящей работе рассмотрены особенности применения Т-сплайнов для локального деформирования оптических поверхностей посредством впервые реализованной Т-сплайн-оптимизации. Как показывают полученные результаты, применение Т-сплайнов обеспечивает более однородное распределение освещенности по сравнению с NURBS. Представление поверхности Т-сплайнами также способствует снижению чувствительности точек FFD-сетки, что крайне важно для интеллектуальных систем оптимизации. Поскольку Т-сплайны относятся к относительно новым способам представления поверхностей, их применение пока не слишком хорошо отработано. Современные CAD-программы и трассировщики лучей не рассчитаны на импорт файлов с Т-сплайнами и работу с такими файлами. На момент написания этой статьи выполнение трассировки лучей по-прежнему требовало преобразования Т-сплайнов в NURBS и обратно. Другой ограничивающий фактор, хоть и не слишком существенный, заключается в том, что область для вставки контрольных точек необходимо выбирать более точно. Если в будущем интеллектуальные системы оптимизации научатся автоматически выбирать соответствующие сегменты оптических поверхностей, машины смогут от начала и до конца выполнять процедуру вставки точек и оптимизации.